Thème 4 : Thermique et Energétique

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Utilisation des modes de branche pour la thermique non linéaire

Les méthodes modales se limitent classiquement aux problèmes linéaires, puisqu'elles utilisent un principe de superposition. Cependant, on peut employer une décomposition modale pour un problème non linéaire à condition que les modes propres forment une base.

Pour que l'approche modale soit opérationnelle, il faut trouver une base unique qui permette de reconstituer tous les champs de température, et pas seulement ceux vérifiant des conditions limites homogènes. On fait alors apparaître les modes de branche. Ce sont des « condensés » des modes de transfert et des modes de couplage. Pour les opérateurs auto-adjoints (conduction, rayonnement) ils forment une base pour tous les champs définis dans le domaine (et pas uniquement les champs thermiques d'ailleurs). Ils vérifient une propriété générale d'orthogonalité vis-à-vis d'une « mesure » à la fois surfacique et volumique. On retrouve là les caractéristiques communes à toutes les bases modales.

Les modes de branche vérifient par construction une condition limite de Steklov. Cette dernière n'a pas de sens physique direct, bien que dans sa forme elle ressemble à une condition de troisième espèce. Ce qui l'en distingue fondamentalement, c'est la présence de la valeur propre en lieu et place du coefficient d'échange. C'est grâce à cela que la base de branche autorise la prise en compte de conditions limites non linéaires. Par contre elle n'est pas usuelle dans les codes de calcul. Il faut l'introduire, ce qui nécessite des codes « ouverts ».

Notons que le fait de former une base est insuffisant pour générer des modèles réduits. Pour atteindre ce but, il faut que cette base présente des dominances. Pour les problèmes non linéaires, la solution est recherchée sous la forme d'une décomposition linéaire. La non linéarité est alors repoussée sur les coefficients de la décomposition (les états d'excitation des modes). L'équation d'état est non linéaire et tous les modes sont couplés. Fort heureusement, une étude analytique sur des cas simples (géométries constituées de produits tensoriels de domaines unidimensionnels tel des rectangles, des cylindres multicouches, …) a montré que le couplage s'affaiblit très rapidement. En particulier, la base modale a tendance à se scinder en deux sous-espaces orthogonaux : les modes volumiques et les modes surfaciques. Reste à prévoir ce découplage a priori. Nous avons mis en évidence, toujours sur des cas analytiques, le rôle important d'une « matrice de couplage ». Les coefficients de cette matrice donnent une image du couplage entre les modes. Cette image est incomplète pour les problèmes non linéaires, mais elle permet déjà de réduire correctement les modèles. Qui plus est, elle a le grand intérêt d'être facilement accessible, puisque son calcul repose sur la norme induite par le produit scalaire entre les modes de branche.

L'étude a été complétée par des essais sur des cas géométriques plus complexes. Le cas d'un cylindre hétérogène chauffant placé dans un sillage a été traité. Cette fois, les modes de branche sont obtenus par éléments finis. La matrice de couplage a été utilisée pour réduire le modèle. Les résultats sont excellents, même si on ne peut démontrer qu'ils sont optimaux. Nous soulignons le fait que le modèle réduit est unique pour tous les cas d'orientation du cylindre dans le sillage. Ceci confirme bien que les modes de branche forment une base pour tous les champs de température.

Résolution de problèmes inverses en utilisant des modèles réduits modaux

L'utilisation d'un modèle d'état complet s'avère lourde dans l'objectif d'effectuer du contrôle-commande en temps réel. Il est alors préférable de remplacer le modèle complet par un modèle réduit du comportement thermique du système étudié.

Cette méthode a été validée dans le cas du frottement sec d'un pion fixe en bronze sur la périphérie d'un disque en acier en rotation autour de son axe, où l'on cherche à identifier les flux reçus par le disque en rotation et par le pion fixe. Ces deux problèmes d'identification sont résolus séparément. L'écriture du modèle discrétisé spatialement est effectuée par la méthode des éléments finis. Des simulations numériques mettent en évidence la nécessité d'utiliser un maillage de l'ordre de 4000 noeuds pour le disque et de 460 noeuds pour le pion.

Le système matriciel représentant le système est donc de dimension importante. Le modèle initial de comportement thermique est décomposé sur une base modale, qui est elle-même réduite par simple troncature, pour ne garder que les modes propres ayant une influence significative sur le problème inverse.

Du fait de cette troncature, il n'est pas nécessaire de calculer tous les modes propres du système. La méthode de calcul des valeurs propres est alors basée sur la technique d'Arnoldi qui permet de ne calculer que les modes propres compris dans un intervalle particulier. Cette méthode est très intéressante dans le cas où la taille du système est importante et où seul un petit nombre de modes propres est à retenir.

La résolution du problème inverse utilise la méthode des pas de temps futurs adaptée au modèle réduit. On montre qu'il existe un critère optimal du nombre de modes propres que l'on garde dans le modèle réduit, directement lié au temps de diffusion entre le point de mesure et la frontière de la source à identifier.

A partir de la mesure du champ de température obtenu par une caméra infrarouge, différents points choisis à proximité de l'interface de frottement sont utilisés pour la résolution du problème inverse. La localisation de ces points permet de connaître le temps de diffusion du signal thermique entre l'interface de frottement et les points de mesures. Ce temps de diffusion est utilisé comme critère de troncature, ce qui permet d'imposer la taille du système réduit. L'obtention de ces modes s'effectue en moins de 1 seconde par la technique d'Arnoldi (par une méthode classique, ces mêmes résultats demandent 6 heures de calculs).

Les deux modèles réduits pour le disque et pour le pion sont alors utilisés pour l'identification des flux réels à partir des températures expérimentales filtrées. Les temps de calcul d'identification du flux sur une durée de 70 secondes avec un pas de calcul de 1 seconde sont alors de 10 secondes pour le disque et de 0,9 seconde pour le pion. Une identification en temps réel devient envisageable, ce qui n'était pas le cas sans réduction du modèle (les mêmes calculs nécessitaient alors un temps de 40 heures pour l'identification du flux reçu par le disque).

Last modified: 16/05/2011 14:29